COLLATZ

La congettura di Collatz prende il nome dal matematico tedesco Lothar Collatz, che la formulò per la prima volta nel 1937. Lothar Collatz fu un matematico che lavorò su una varietà di problemi matematici, ma è meglio noto per la sua congettura della sequenza 3n + 1, che ora è conosciuta come la congettura di Collatz in suo onore.
La congettura di Collatz riguarda la successione di numeri interi generata seguendo le seguenti regole:
Si inizia scegliendo a piacere un numero intero positivo n.
Se n è pari, lo si divide per 2; se n è dispari, lo si moltiplica per 3 e si aggiunge 1. Il processo si ripete con il nuovo numero ottenuto.
La congettura afferma che questa sequenza alla fine raggiungerà il valore 1, indipendentemente dal numero iniziale scelto.
Questa congettura è stata studiata ampiamente ed è uno dei problemi non risolti più noti in matematica.
La sequenza di Collatz può generare numeri molto grandi, anche se iniziamo con numeri piccoli, e la ragione per cui questa congettura è così affascinante è che nonostante sia stata testata su moltissimi numeri e verificata su enormi range, nessuno ha ancora dimostrato matematicamente perché la sequenza alla fine si riduca sempre a 1.

Ecco un esempio di successione di Collatz:

Supponiamo di iniziare con il numero 6.

  1.     6 è pari, quindi lo dividiamo per 2: 6 / 2 = 3.
  2.     3 è dispari, quindi moltiplichiamo per 3 e aggiungiamo 1: 3 * 3 + 1 = 10.
  3.   10 è pari, quindi lo dividiamo per 2: 10 / 2 = 5.
  4.     5 è dispari, quindi moltiplichiamo per 3 e aggiungiamo 1: 5 * 3 + 1 = 16.
  5.    16 è pari, quindi lo dividiamo per 2: 16 / 2 = 8.
  6.     8 è pari, quindi lo dividiamo per 2: 8 / 2 = 4.
  7.     4 è pari, quindi lo dividiamo per 2: 4 / 2 = 2.
  8.     2 è pari, quindi lo dividiamo per 2: 2 / 2 = 1.

    Ora siamo arrivati a 1. Se si continua accade una strana cosa, si finisce in un loop senza via di uscita, infatti:

  9.    1 è dispari, quindi moltiplichiamo per 3 e aggiungiamo 1: 1 * 3 + 1 = 4.
  10.    4 è pari, quindi lo dividiamo per 2: 4 / 2 = 2.
  11.    2 è pari, quindi lo dividiamo per 2: 2 / 2 = 1.
  12.    1 è dispari, quindi moltiplichiamo per 3 e aggiungiamo 1: 1 * 3 + 1 = 4.

    E si ritorna a 4 che porta a 2, il 2 a 1 che riporta a 4, etc.

Le serie sigma-additive di Queneau

Sono sequenze di numeri che sono state studiate dallo scrittore francese Raymond Queneau, matematico dilettante.

Le serie più semplici sono le 0-additive dette anche non additive.
Si stabilisce una base numerica di partenza a piacere, costituita da almeno una coppia di numeri positivi crescenti. I numeri che vengono dopo la base si ottengono applicando la seguente regola: ogni numero della serie non può mai essere la somma di due numeri che lo precedono.
La regola non si applica alla base.
Consideriamo, per esempio, la base (1, 6, 8), il numero 9 non è un termine della serie in quanto 9 = 8 + 1. Osserviamo che il 10, invece, non può essere scritto come somma di due termini appartenenti all’insieme (1, 6, 8). Diventa allora il termine successivo della serie. Si avrà dunque (1, 6, 8), 10. Continuando, il numero 11= 10 + 1 non può essere incluso nella serie, a differenza del 12. Procedendo così si ottengono via via gli altri numeri della serie:

(1, 6, 8), 10, 12, 15, 17, 19, 24, 26, 28, 33, 35, 37, 42, 44, …

Altri esempi:

(1, 3), 5, 7, 9, 11, 13, …

(2, 6), 7, 10, 11, 14, 15, 19, 22, 23, … .